К статье
ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ
Пользуясь в основном такими средствами, как степенные ряды, контурный интеграл и дифференцирование, математики в последующие десятилетия сумели достичь значительных успехов в изучении следствий из предположения об аналитичности функций. Перечень имен тех, чьи труды способствовали прогрессу в этой области, простирается от П.Дирихле (1805-1859) и Римана и до Г.Вейля (1885-1955), У.Осгуда (1864-1943), Ж.Валирона (1885-1955), Г.Шварца (1843-1921), Р.Неванлинны (1895-1980) и других аналитиков, ныне активно работающих в теории функций и смежных областях.
Многие удивительные свойства аналитических функций легко представить на языке геометрии или топологии. Начнем с того, что откажемся от точки зрения, которой мы до сих пор руководствовались и согласно которой функция задается аналитической формулой, например, бесконечным рядом. Вместо этого будем рассматривать функцию F как отображение z . w = F(z), ставящее в соответствие точкам плоскости z точки плоскости w. Если S - любое множество точек из области определения функции F на плоскости z, то F(S) - образ этого множества на плоскости w, состоящий из всех точек F(z), таких, что z принадлежит S. Множество S называется открытым, если каждая точка множества S является центром диска, целиком лежащего в S. Одно из важных свойств аналитической функции F состоит в том, что образ любого открытого множества S на плоскости z всегда является открытым множеством на плоскости w, если только F - не константа. Из этого топологического свойства можно вывести знаменитый "принцип максимума модуля": если функция f аналитична и не является константой в замкнутой области D, то наибольшее значение действительной непрерывной функции |f(z)| достигается, когда z - не внутренняя точка области D, а лежит на границе области D.
В топологии гомеоморфизмом называется взаимно однозначное непрерывное отображение, которое переводит открытые множества в открытые; аналитические функции обычно гомеоморфизмами не являются. Например, отображение z . ez, задаваемое экспоненциальной функцией, не взаимно однозначно, а отображает каждую из точек z0 + 2k?i в одну и ту же точку плоскости w при k = 0, ?1, ?2, ...; но эти точки расположены так далеко одна от другой, что отображение, задаваемое экспоненциальной функцией, взаимно однозначно (и, следовательно, гомеоморфно) на любой круговой области плоскости z, диаметр которой меньше 2?. Такое поведение описывают, говоря, что отображение z . ez "локально" гомеоморфно на всей плоскости z. Аналогично обстоит дело и в общем случае. Можно показать, что если функция F аналитична на множестве D и мы удалим из D все точки, в которых F. принимает нулевое значение, то на остальной части множества D функция F задает локальный гомеоморфизм. Например, w = z2 + 1 определяет локальный гомеоморфизм на всей плоскости z за исключением начала координат.
Отсюда следует еще одно особое свойство. Если функция F аналитична в области D и отлична от константы, то можно попытаться определить множество S точек z из D, которые служат решениями уравнения F(z) = A. Разумеется, таких точек может не быть; однако можно показать, что если таких точек бесконечно много, то они должны сходиться к границе области D. Удивительным следствием этого факта является теорема единственности для аналитических функций, отражающая гибкую природу аналитической функции: если f и g - функции, каждая из которых аналитична в одной и той же области D, и если значения функций f и g совпадают на множестве S, содержащем малый диск или малую дугу, или даже на сходящейся последовательности точек из D, то f и g совпадают на всей области D. Это свойство иногда называют перманентностью формы: если известно, что формула (10) выполняется для действительных чисел t, 0 < t < ?, то мы можем сразу же заключить, что она должна выполняться и для всех комплексных значений t.
Как уже упоминалось, аналитические функции отображают открытые множества в открытые. Естественно задать вопрос: если D1 - открытая область на плоскости z, а D2 - открытая область на плоскости w, то существует ли функция f, аналитическая на D1, которая отображает, причем взаимно однозначно, D1 на D2. Если ответ на этот вопрос утвердительный, то говорят, что f конформно отображает D1 на D2, а об областях D1 и D2 говорят, что они принадлежат к одному и тому же конформному типу. В качестве примера заметим, что вся плоскость и любой открытый диск принадлежат к различным конформным типам; это следует из теоремы Ж.Лиувилля (1809-1882), которая гласит: любая функция F, аналитическая на всей плоскости, не может отображать плоскость на любое ограниченное множество (лежащее целиком внутри какого-нибудь диска конечного радиуса), если только F не константа. Наиболее известный результат такого рода - теорема Римана об отображениях, которая утверждает, что любая односвязная открытая область D на плоскости принадлежит к тому же конформному типу, что и открытый круговой диск единичного радиуса. (Под односвязностью здесь имеется в виду топологическое понятие, означающее в данном случае, что плоскость не распадается на два или большее число кусков, если из нее удалить область D.)
Вопрос о конформном типе многосвязной области (рис. 6) более сложен. Две области с одним и тем же числом дырок необязательно принадлежат одному и тому же конформному типу, хотя они и гомеоморфны. Например, любая двусвязная область принадлежит тому же конформному типу, что и некоторое кольцо (рис. 6) с внутренним радиусом, равным 1; однако два таких кольца конформно неэквивалентны за исключением того случая, когда их размеры в точности совпадают.
Полезно также рассмотреть, каким образом аналитическая функция отображает кривые на плоскости z на кривые на плоскости w. Если . и . - две гладкие кривые, проходящие через точку z0, образуя в этой точке между собой угол ?, то их образами и будут кривые, проходящие через точку w0 = F(z0) и образующие в этой точке между собой некоторый угол (рис. 7). Из уравнений Коши - Римана (7) следует, что всегда за исключением того случая, когда F?(z0) = 0. Но и в последнем случае кое-что можно утверждать, не ограничивая общности, так как , где m - наименьшее из целых чисел k, при которых F(k)(z0) . 0. Поэтому говорят, что в общем случае аналитические функции задают конформные (т.е. сохраняющие углы) отображения; например, w = z2 + 1 - отображение, конформное всюду за исключением начала координат, где углы удваиваются.
Исследуя, каким образом аналитическая функция отображает кривые, можно получить также дополнительную информацию и о ней самой. Пусть . - замкнутая кривая, лежащая в односвязной области D, в которой функция f аналитична; предположим, что . не имеет самопересечений. Пусть S - область, границей которой служит ?. Образ ??. кривой . под действием отображения f может пересекать самого себя несколько раз (рис. 8). Выберем любую точку w0, не лежащую на кривой ???, и подсчитаем сколько раз ??. делает полный обход вокруг w0 (число обходов обозначим N). (На рис. 8 N = 2.) Тогда в области S должно быть ровно N решений уравнения f(z) = w0. Это утверждение, известное под названием "принцип аргумента", является основным инструментом анализа расположения нулей (точек, в которых w0 = 0) аналитической функции.
Исследование природы аналитических функций продолжает привлекать внимание многих математиков. Хотя трудно перечислить их достижения, не вдаваясь при этом в излишне специальные детали, нельзя не упомянуть некоторые из направлений современных исследований. Среди общих целей - (1) установление взаимосвязей между распределением нулей аналитической функции и способом, которым она отображает некоторое семейство областей (например, дисков); (2) изучение поведения аналитической функции вблизи границы ее области определения; (3) установление зависимостей между поведением функции в одной точке и ее поведением в какой-то другой точке, находящейся на некотором расстоянии от первой и (4) установление характеристических свойств, которыми обладают все функции некоторого класса (например, свойство всех функций f отображать данную область D1 на область D2). В последнее десятилетие математики стали уделять больше внимания сложным проблемам, связанным с теорией функций двух и более комплексных переменных, аналитических по каждой из переменных в отдельности.
